Question

已知f（x）為定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）為二次函數，且滿足f（2）=1，f（x）在（0，+∞）上的兩個零點為1和3．
（1）求函數f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的圖象，并根據圖象討論關于x的方程f（x）-c=0（c∈R）根的個數．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數法求出當x＞0時，f（x）表達式，再利用奇函數的性質求出x≤0時f（x）表達式；
（2）數形結合：方程f（x）-c=0（c∈R）根的個數即為y=f（x）與y=c圖象的交點個數，結合圖象可得答案．

解答：解：（1）由題意，當x＞0時，設f（x）=a（x-1）（x-3），（a≠0），
∵f（2）=1，∴a=-1，∴f（x）=-x²+4x-3，
當x＜0時，-x＞0，∵f（x）為R上的奇函數，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）-3]=x²+4x+3，
即x＜0時，f（x）=x²+4x+3，
當x=0時，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0，
所以f(x)=

-x2+4x-3，x＞0 0，x=0 x2+4x+3，x＜0

．        

（2）作出f（x）的圖象（如圖所示）

由f（x）-c=0得：c=f（x），在圖中作y=c，
根據交點討論方程的根：
當c≥3或c≤-3時，方程有1個根；       
當1＜c＜3或-3＜c＜-1時，方程有2個根； 
當c=-1或c=1時，方程有3個根；        
當0＜c＜1或-1＜c＜0時，方程有4個根；  
當c=0時，方程有5個根．

點評：本題考查函數解析式的求解及函數圖象的作法，同時考查數形結合思想的應用，屬中檔題．