Question

設橢圓C₁的方程為 =1(a＞b＞0)，曲線C₂的方程為y=，且C₁與C₂在第一象限內只有一個公共點P.

(Ⅰ)試用a表示點P的坐標.

(Ⅱ)設A、B是橢圓C₁的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數S(a)的值域；

(Ⅲ)設min｛y₁，y₂，…，y_n｝為y₁，y₂，…，y_n中最小的一個設g(a)是以橢圓C₁的半焦距為邊長的正方形的面積，試函數f(a)=min｛g(a),S(a)｝的表達式.

Answer 1

(Ⅰ)解：將y=代入橢圓方程，得=1，

化簡得b²x⁴－a²b²x²+a²=0，

由條件，有Δ=a⁴b⁴－4a²b²=0

得ab=2

解得x=,x=－ (舍去)

 

故P的坐標為(,)

 

(Ⅱ)解：∵在ΔABP中,｜AB｜=2，高為，∴S(a)=·2·=2

∵a＞b＞0，b=，

∴a＞,

即a＞，得0＜＜1，

 

于是0＜S(a)＜2故ΔABP的面積函數S(a)的值域為(0，)

 

(Ⅲ)解：g(a)=c²=a²－b²=a²－，

 

解不等式：g(a)≥S(a)，

 

即a²－≥，

 

整理得：a⁸－10a⁴+24≥0，

即(a⁴－4)(a⁴－6)≥0，

即(a⁴－4)(a⁴－6)≥0

解得：a≤2(舍去)或a≥,

 

故f(a)=min｛g(a),S(a)｝=