Question

已知圓O₁和圓O₂的極坐標方程分別為ρ=2，ρ2-2

2

ρcos(θ-

π

4

)=2．
（1）把圓O₁和圓O₂的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）求經過兩圓交點的直線的極坐標方程．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數的差角公式展開圓O₂的極坐標方程的右式，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得圓O₂的直角坐標方程及圓O₁直角坐標方程．
（2）先在直角坐標系中算出經過兩圓交點的直線方程，再利用直角坐標與極坐標間的關系求出其極坐標方程即可．

解答：解：（1）ρ=2?ρ²=4，所以x²+y²=4；因為ρ2-2

2

ρcos(θ-

π

4

)=2，
所以ρ2-2

2

ρ(cosθcos

π

4

+sinθsin

π

4

)=2，所以x²+y²-2x-2y-2=0．（5分）
（2）將兩圓的直角坐標方程相減，得經過兩圓交點的直線方程為x+y=1．
化為極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ=1，即ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

．（10分）

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．