Question

已知函數f（x）=alnx+

1

x

．
（1）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）當a＞0時，若對任意x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求實數a的取值范圍；
（3）若a＜0，對任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，試比較f（

x1+x2

2

）與

f(x1)+f(x2)

2

的大小．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間以及極值．
（2）將變量a分離出來，轉化成使對任意x＞0，只須2a≤f（x）_min，研究f（x）的最小值即可．
（3）利用作差法比較兩個數的大小，f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

化簡整理后判定其符號．

解答：解：由題意x＞0，f′（x）=

a

x

-

1

x2

（1）當a＞0時，由f′（x）＞0得，解得x＞

1

a

，
即函數f（x）的單調增區間是(

1

a

，+∞)；
由f′（x）＜0得

a

x

-

1

x2

＜0，解得x＜

1

a

，
即函數f（x）的單調減區間是(0，

1

a

)
∴當x=

1

a

時，函數f（x）有極小值，
極小值為f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-alna
（2）當a＞0時，∵對任意x＞0，
均有ax（2-lnx）≤1，即有對任意x＞0，2a≤alnx+

1

x

恒成立，
∴對任意x＞0，只須2a≤f（x）_min
由（1）可知，函f（x）的極小值，即為最小值，
∴2a≤f（x）_min=a-alna，，解得0＜a≤

1

e

即a的取值范圍為0＜a≤

1

e

（3）f(

x1+x2

2

) -

f(x1)+f(x2)

2

=aln

x1+x2

2 x1x2

-

(x1-x2) 2

2x1x2(x1+x2)

∵x₁＞0，x₂＞0且x₁≠x₂，a＜0，
∴x₁+x₂＞2

x1x2

，∴

x1+x2

2 x1x2

＞1，aln

x1+x2

2 x1x2

＜0
又

-(x1-x2) 2

2x1x2(x1+x2)

＜0，
∴aln

x1+x2

2 x1x2

+

-(x1-x2) 2

2x1x2(x1+x2)

＜0，
∴f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

＜0，即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性，屬于難題．