Question

設P₁，P₂，P₃，…P_n，是曲線y=

x

上的點列，Q₁，Q₂，Q₃，…Q_n是x軸的正半軸上的點列，O為坐標原點，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_nQ_n+1P_n+1是等邊三角形，設它們的邊長分別為a₁，a₂，a₃，…a_n，求{a_n}前n項和S_n．

Answer 1

分析：當n=1時，由

y= x y= 3 x

，得a1=

2

3

y1=

2

3

，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，由△Q_n-1P_nQ_n為正三角形知Pn(Sn-1+

an

2

，

3

2

an)，由點P_n在曲線y=

x

上，知即Sn-1=

3

4

a

2 n

-

1

2

an，由此入手能夠求出{a_n}前n項和S_n．

解答：解：當n=1時，由

y= x y= 3 x

，得y1=

3

3

，
∴a1=

2

3

y1=

2

3

，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，
則由△Q_n-1P_nQ_n為正三角形，（Q₀為原點，S₀=0），
∴Pn(Sn-1+

an

2

，

3

2

an)，
又由點P_n在曲線y=

x

上，
∴

3

2

an=

Sn-1+ an 2

，
即Sn-1=

3

4

a

2 n

-

1

2

an
∴Sn=

3

4

a

2 n+1

-

1

2

an+1．
兩式相減，得(an+1+an)(

3

4

an+1-

3

4

an-

1

2

)=0，
∵a_n+1+a_n≠0，
∴an+1-an=

2

3

(n≥2)
可驗證a2-a1=

2

3

，
故數列{a_n}是以

2

3

為首項，

2

3

為公差的等差數列，
∴an=

2

3

n，
∴Sn=

n( 2 3 + 2 3 n)

2

=

1

3

n(n+1)．

點評：本題考查等差數列的性質和函數的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．具有一定的難度，容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答．