Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x+2）=f（x）恒成立，當x∈（-1，0]時，f（x）=2^x則f（log₂6）的值為（　　）

• A．-

  3

  2

• B．-

  2

  3

• C．-

  5

  2

• D．-

  1

  2

Answer 1

分析：根據f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x+2）=f（x）恒成立，可以推出f（-x）=-f（x），周期為2，根據log₂6∈（2，3），可以求出x∈（2，3]時，f（x）的解析式即可求解；

解答：解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x+2）=f（x）恒成立，當x∈（-1，0]時，f（x）=2^x，
函數f（-x）=-f（x），周期T=2，
令0＜x＜1，可得-1＜-x＜0，
∴f（-x）=-f（x）=2^x，
∴f（x）=-2^x，
∵f（x）的周期為2，log₂6∈（2，3），
∴f（log₂6）=f（

log

6 2

-2）=-2

log

6 2

-2=-

6

4

=-

3

2

，
故選A；

點評：此題主要考查函數解析式的求法，奇函數的性質及其周期性，有一定的難度，是一道中檔題；