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如圖所示,直線l:y=x+b與拋物線C:x²=4y相切于點A.

(1)求實數(shù)b的值;
(2)求以點A為圓心,且與拋物線C的準線相切的圓的方程.

(1) b=-1 (2) (x-2)²+(y-1)²=4

解析解:(1)由得x²-4x-4b=0.(*)
因為直線l與拋物線C相切,
所以Δ=(-4)²-4×(-4b)=0,
解得b=-1.
(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)即為x²-4x+4=0,
解得x=2.將其代入x²=4y,得y=1.
故點A(2,1).
因為圓A與拋物線C的準線相切,
所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離,
即r=|1-(-1)|=2,
所以圓A的方程為(x-2)²+(y-1)²=4.

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(1)求橢圓C的方程和其“準圓”的方程.
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點,過動點P作直線l₁,l₂使得l₁,l₂與橢圓C都只有一個交點,且l₁,l₂分別交其“準圓”于點M,N.
①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時,求l₁,l₂的方程;
②求證:|MN|為定值.