Question

已知a＞0，函數f（x）=lnx-ax²，x＞0．（f（x）的圖象連續不斷）
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當時，證明：存在x∈（2，+∞），使；
（Ⅲ）若存在均屬于區間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導數fˊ（x）；在函數 的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0確定函數的單調區間，若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．
（II）由（I）知f（x）在（0，2）內單調遞增，在（2，+∞）內單調遞減．令．利用函數f（x）在（0，2）內單調遞增，得到．最后取．從而得到結論；
（III）先由f（α）=f（β）及（I）的結論知，從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．再依1≤α≤2≤β≤3建立關于a的不等關系即可證得結論．
解答：解：（I），
令．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

 所以，f（x）的單調遞增區間是的單調遞減區間是．
（II）證明：當．
由（I）知f（x）在（0，2）內單調遞增，
在（2，+∞）內單調遞減．
令．
由于f（x）在（0，2）內單調遞增，
故．
取．
所以存在x∈（2，x'），使g（x）=0，
即存在．
（說明：x'的取法不唯一，只要滿足x'＞2，且g（x'）＜0即可）
（III）證明：由f（α）=f（β）及（I）的結論知，
從而f（x）在[α，β]上的最小值為f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故
從而．
點評：本小題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性、解不等式、函數的零點等基礎知識，考查運算能力和運用函數思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法．