Question

如圖四棱錐P-ABCD，它的正視圖如圖（1），是等腰三角形，
側視圖如圖（2），是等腰直角三角形，俯視圖如圖（3），是正方形ABCD．
各長度如圖所示．
（I）求證：平面ADP⊥平面ABP；
（II）設E為AB中點，試在線段PE上確定一點M，使得OM∥平面PDC，并證明；
（III）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由面面垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直．
（2）取線段PE的中點為M．由三角形中位線性質證明線線平行，從而證明線面平行．
（3）直接使用棱錐的體積公式，底面是邊長為2的正方形，棱錐的高是2．
解答：（1）證明：∵面ABP⊥面ABCD，AD⊥AB
∴AD⊥面ABP（2分）
∴平面ADP⊥平面ABP（3分）
（也可在此問中取AB中點E，只需證明AD與AB和PE垂直．）
（2）取線段PE的中點為M．（4分）
證明：延長EO至F，且F∈CD，連接PF．
在三角形EPF中，EM=MP，EO=OF，
∴MO∥PF（6分）
∵MO?面PDC（7分）
MO∥面PDC（8分）
（3）（13分）
點評：本題考查線面平行、面面垂直的判定，椎體的體積．