Question

已知銳角△ABC中，三個內角為A、B、C，兩向量

p

=(2-2sinA)

e

1+(cosA+sinA)

e

2，

q

=(sinA-cosA)

e1

+(1+sinA)

e2

，其中

e1

，

e2

是兩個不共線向量．又知

p

與

q

是共線向量．
（1）求∠A的大小；
（2）求函數y=2sin2B+cos(

C-3B

2

)取最大值時，∠B的大小．

Answer 1

分析：（1）根據

p

∥

q

，可得2（1-sinA）（1+sinA）=sin²A-cos²A，化簡可得cos2A=-

1

2

，由此求出銳角B的值．
（2）由A=60°，可得 B+C=120°，利用三角函數的恒等變換化簡函數y為sin(2B-

π

6

)+1，當2B-

π

6

=

π

2

時，函數y取得最大值，由此求得B的值．

解答：解：（1）∵

p

∥

q

，∴2（1-sinA）（1+sinA）=sin²A-cos²A，
∴2cos²A+cos2A=0，∴1+2cos2A=0，∴cos2A=-

1

2

．
∵0＜2A＜π，∴2A=120°，∴A=60°．  …8
（2）∵A=60°，∴B+C=120°．
故 y=2sin2B+cos(60°-2B)=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B 
=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin(2B-

π

6

)+1，
∴當2B-

π

6

=

π

2

時，即B=

π

3

 時，函數y取得最大值． …16

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，根據三角函數的值求角，兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，式子的變形，是解題的關鍵．