Question

【題目】已知橢圓的左焦點為F，短軸的兩個端點分別為A、B，且，為等邊三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，點M在橢圓C上且位于第一象限內，它關于坐標原點O的對稱點為N；過點M作x軸的垂線，垂足為H，直線與橢圓C交于另一點J，若，試求以線段為直徑的圓的方程；

（3）已知是過點A的兩條互相垂直的直線，直線與圓相交于兩點，直線與橢圓C交于另一點R；求面積取最大值時，直線的方程.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）.（也可寫成.）

【解析】

（1）由橢圓左焦點為F，短軸的兩個端點分別為A、B，且，為等邊三角形，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程.

（2）設，則由條件，知，，且，.推導出，進而求得直線NH的方程：.由求得.再求出線段的中點坐標，由此能求出以線段為直徑的圓的方程.

（3）當直線的斜率為0時，.當直線的斜率存在且不為0時，設其方程為，利用點到直線距離公式、弦長公式、直線垂直、三角形面積公式，結合已知條件能求出結果.

（1）∵橢圓的左焦點為F，短軸的兩個端點分別為A、B

且，為等邊三角形.

p>∴由題意，得：，解得，∴橢圓C的方程為.

（2）設，則由條件，知，，且，.

從而.

于是由及，得.

再由點M在橢圓C上，得，求得.

所以，

進而求得直線NH的方程：.

由求得.

進，

線段的中點坐標為.

∴以線段為直徑的圓的方程為：.

（3）當直線的斜率不存在時，直線與橢圓C相切于點A，不合題意，

當直線的斜率為0時，由題意得.

當直線的斜率存在且不為0時，設其方程為，

則點O到直線的距離為，從而由幾何意義，得，

由于，故直線的方程為，由題意得它與橢圓C的交點R的坐標為，

于是.

故，

令，則，

當且僅當即時，上式取等號.

∵，故當時，，

此時直線的方程為：.（也可寫成.）