Question

若直線ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²+2x+2y=0的周長，則

1

a

+

1

b

的最小值是：

 

．

Answer 1

分析：說明過圓心，由此可得a，b的關系，用此關系對

1

a

+

1

b

變形用基本不等式求最值可．

解答：解：直線ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²+2x+2y=0的周長，且圓心坐標是（-1，-1）
故a+b=1
所以

1

a

+

1

b

=(a+b)(

1

a

+

1

b

)=2+

b

a

+

a

b

≥4等號當且僅當

b

a

=

a

b

，即a=b=1時等號成立，
故

1

a

+

1

b

的最小值是4；
故答案為：4．

點評：本題考查基本不等式求最值，本題中根據題目條件構造出了可以利用基本不等式求最值的形式，屬于積定和最小型．本題也考查了直線與圓的位置關系．