Question

某分公司經(jīng)銷某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為6元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（2≤a≤6）的管理費(fèi)，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元（13≤x≤14）時，一年的銷售量為16-x萬件．
（1）求分公司一年的利潤y（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤y最大，并求出y的最大值M（a）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先求出每件產(chǎn)品的利潤，再乘以一年的銷量，便可求出分公司一年的利潤y（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式，注意變量的范圍；
（2）根據(jù)二次函數(shù)，利用配方法討論對稱軸，分別求出y的最大值M（a），最后利用分段函數(shù)表示即可．

解答：解：（1）y=f（x）=（x-6-a）（16-x），
即y=-x²+（a+22）x-16a-96，x∈[13，14]．…（4分）
（2）y=- ( x-

a+22

2

 )2+( 

a+22

2

 )2 -16a-96，…（6分）
∵2≤a≤6，∴12≤

a+22

2

≤14．…（7分）
①當(dāng)13≤

a+22

2

≤14，即4≤a≤6時，M(a)=f(

a+22

2

)=

1

4

a2-5a+25；…（10分）
②當(dāng)12≤

a+22

2

＜13，即2≤a＜4時，M（a）=f（13）=-3a+21．…（13分）
綜上，M(a)=

-3a+21         ( 2≤a＜4 ) 1 4 a2-5a+25  ( 4≤a≤6 )

．
答：若2≤a＜4，則當(dāng)售價為13元時，利潤最大，為-3a+21萬元；
若4≤a≤6，則當(dāng)售價為

a+22

2

元時，利潤最大，為

1

4

a2-5a+25萬元．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法以及利用二次函數(shù)求得函數(shù)的最值問題，是各地高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時注意自變量的取值范圍以及分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，屬于中檔題．