Question

已知數(shù)列{a_n}滿足an=an-1+

1

n2

a2n-1(n∈N*)．
（1）若數(shù)列{a_n}是以常數(shù)a₁首項(xiàng)，公差也為a₁的等差數(shù)列，求a₁的值；
（2）若a0=

1

2

，求證：

1

an-1

-

1

an

＜

1

n2

對(duì)任意n∈N^*都成立；
（3）若a0=

1

2

，求證：

n+1

n+2

＜an＜n對(duì)任意n∈N^*都成立．

Answer 1

分析：（1）由an=an-1+

1

n2

a2n-1(n∈N*)得：a1=

1

n2

[a1+(n-2)a1]2，從而可求的求得a₁=0；
（2）由a_n＞a_n-1＞0知an＜an-1+

1

n2

anan-1，兩邊同除以a_na_n-1，可得結(jié)論
（3）由（2）可知

1

a0

-

1

an

=(

1

a0

-

1

a1

)+(

1

a1

-

1

a2

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)＜1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

，再進(jìn)行放縮
可證得結(jié)論．

解答：解：（1）由an=an-1+

1

n2

a2n-1(n∈N*)得：a1=

1

n2

[a1+(n-2)a1]2
即a1=(

n-1

n2

)2a12，求得a₁=0…5分
（2）由a_n＞a_n-1＞0知an＜an-1+

1

n2

anan-1，
兩邊同除以a_na_n-1，得

1

an-1

-

1

an

＜

1

n2

…10分
（3）

1

a0

-

1

an

=(

1

a0

-

1

a1

)+(

1

a1

-

1

a2

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)＜1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

(n-1)

-

1

n

)=2-

1

n

，將a0=

1

2

代入，得a_n＜n；㈠…12分∵a_n-1＜n-1∴an=an-1+

1

n2

a2n-1＜an-1+

n-1

n2

an-1an-1＞

n2

n2+n-1

anan＞an-1+

1

n2

an-1•

n2

n2+n-1

an

1

an-1

-

1

an

＞

1

n2+n-1

＞

1

n

-

1

n+1

1

a1

-

1

an

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)＞(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

-

1

n+1

而a1=

3

4

，∴

1

an

＜

5

6

+

1

n+1

＜

n+2

n+1

∴an＞

n+1

n+2

㈡
由㈠㈡知，命題成立．…14分．

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列與不等式的結(jié)合，考查放縮法，難度較大．