Question

若函數f（x）=-x²+2ax與g（x）=log_（1-a²）（2x-1）在區間[1，2]上都是減函數，則實數a的取值范圍是（　　）

A．（-1，0）∪（0，1）

B．（-1，0）∪（0，1]

C．（0，1）

D．（0，1]

Answer 1

分析：f（x）=-x²+2ax在區間[1，2]上是減函數，得[1，2]為其減區間的子集，從而得a的一個限制條件；
g（x）=log_（1-a²）（2x-1）在區間[1，2]上是減函數，t=2x-1單調遞增，根據復合函數單調性的判定方法，知y=log(1-a2)t單調遞減，且t=2x-1＞0在[1，2]上恒成立，
由此得a的另一限制條件，取其交集即可．

解答：解：∵f（x）=-x²+2ax的圖象是開口朝下，以x=a為對稱軸的拋物線，
f（x）=-x²+2ax在區間[1，2]上是減函數，∴a≤1①；
因為g（x）=log_（1-a²）（2x-1）在區間[1，2]上是減函數，t=2x-1單調遞增，
所以y=log(1-a2)t單調遞減，且t=2x-1＞0在[1，2]上恒成立，
故有

0＜1-a2＜1 2×1-1＞0

，解得-1＜a＜0或0＜a＜1②；
綜①②，得-1＜a＜0或0＜a＜1，即實數a的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）．
故選A．

點評：本題考查復合函數的單調性、對數函數、一次、二次函數的單調性問題，具有一定綜合性，復合函數單調性的判定方法是：同增異減．