Question

過拋物線y²=2px（P＞0）的焦點的直線x-my+m=0與拋物線交于A、B兩點，且△OAB（O為坐標原點）的面積為，則m⁶+m⁴=    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據拋物線的方程求得焦點的坐標，代入直線方程求得m和p的關系式，進而把直線與拋物線方程聯立消去y，求得方程的解，進而根據直線方程可分別求得y₁和y₂，△OAB的面積可分為△OAP與△OBP的面積之和，而△OAP與△OBP若以OP為公共底，則其高即為A，B兩點的y軸坐標的絕對值，進而可表示三角形的面積進而求得p，則m的值可得，代入m⁶+m⁴中，即可求得答案．
解答：解：由題意，可知該拋物線的焦點為（，0），它過直線，代入直線方程，可知：
+m=0求得m=-
∴直線方程變為：y=-x+1
A，B兩點是直線與拋物線的交點，
∴它們的坐標都滿足這兩個方程．
∴（-x+1）²=2px
∴△=（+2p）²-=4p²+16＞0
∴方程的解x₁=，
x₂=；
代入直線方程，可知：y₁=1-，
y₂=1-，
△OAB的面積可分為△OAP與△OBP的面積之和，
而△OAP與△OBP若以OP為公共底，
則其高即為A，B兩點的y軸坐標的絕對值，
∴△OAP與△OBP的面積之和為：
S=••|y₁-y₂|=•=2
求得p=2，
∵m=-
m²=1
∴m⁶+m⁴=1³+1²=1+1=2
故答案為：2
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，直線，拋物線與橢圓的關系．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．