Question

過拋物線y²＝2px(p＞0)上一定點P(x₀，y₀)(y₀＞0)，作兩條直線分別交拋物線于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．

(1)求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離．

(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當y＝時，x＝，又拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－， 　　由拋物線定義得所求距離為－(－)＝． 　　(2)設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB， 　　由y12＝2px1，y02＝2px0， 　　兩式相減得(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)． 　　故kPA＝(x1≠x0)． 　　同理kPB＝(x2≠x0)． 　　由PA與PB的傾斜角互補知kPA＋kPB＝0． 　　即＋＝0． 　　∵p＞0，∴y1＋y2＝－2y0．故＝－2． 　　設直線AB的斜率為kAB， 　　由y22－y12＝2px1－2px2，得 　　kAB＝(x1≠x2)． 　　∵y1＋y2＝－2y0， 　　∴kAB＝． 　　∵y0＞0，p＞0，∴kAB是非零常數．

提示：

本題考查拋物線定義的應用及拋物線與直線相交的問題，此類問題一般是設而不求，通過韋達定理或斜率公式結合題目其他條件綜合解決問題．