Question

已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l：x-y+10=0上。
（1）若動圓C過點（-5，0），求圓C的方程；
（2）是否存在正實數r，使得動圓C中滿足與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有且只有一個？若存在，請求出r的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）依題意，可設動圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=25，
其中圓心（a，b）滿足a-b+10=0，
又∵動圓過點（-5，0），故（-5-a）²+（0-b）²=25，
解方程組，可得或，
故所求的圓C方程為（x+10）²+y²=25或（x+5）²+（y-5）²=25；
（2）圓O的圓心（0，0）到直線l的距離d==5，
當r滿足r+5＜d時，動圓C中不存在與圓O：x²+y²=r²相切的圓；
當r滿足r+5=d，即r=5-5時，動圓C中有且僅有1個圓與圓O：x²+y²=r²相外切；
當r滿足r+5＞d，與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有兩個；
綜上：r=5-5時，動圓C中滿足與圓O：x²+y²=r²相外切的圓有一個。