Question

已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點是點（0，），離心率為，左、右焦點分別為F₁和F₂．
（1）求橢圓方程；
（2）點M在橢圓上，求△MF₁F₂面積的最大值；
（3）試探究橢圓上是否存在一點P，使，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意設橢圓標準方程為．
由已知得，．（2分）
則，∴．解得a²=6（4分）
∴所求橢圓方程為（5分）

（2）令M（x₁，y₁），則（7分）
∵點M在橢圓上，∴，故|y₁|的最大值為（8分）
∴當時，的最大值為．（9分）

（3）假設存在一點P，使，
∵，∴，（10分）
∴△PF₁F₂為直角三角形，∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4 ①（11分）
又∵ ②（12分）
∴②²-①，得2|PF₁|•|PF₂|=20，∴，（13分）
即=5，由（1）得最大值為，故矛盾，
∴不存在一點P，使．（14分）
分析：（1）由題意設出橢圓標準方程，根據頂點的坐標和離心率得，根據a²=b²+c²求出a的值，即求出橢圓標準方程；
（2）根據（1）求出的橢圓標準方程，求出點M縱坐標的范圍，即求出三角形面積的最大值；
（3）先假設存在點P滿足條件，根據向量的數量積得，根據橢圓的焦距和橢圓的定義列出兩個方程，求出的值，結合（2）中三角形面積的最大值，判斷出是否存在點P．
點評：本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質、向量數量積的幾何意義，利用a、b、c、e幾何意義和a²=b²+c²求出a和b的值，根據橢圓上點的坐標范圍求出相應三角形的面積最值，即根據此范圍判斷點P是否存在，此題綜合性強，涉及的知識多，考查了分析問題和解決問題的能力．