Question

（2012•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一點．已知PD=

2

，CD=4，AD=

3

．
（Ⅰ）若∠ADE=

π

6

，求證：CE⊥平面PDE；
（Ⅱ）當點A到平面PDE的距離為

2 21

7

時，求三棱錐A-PDE的側面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在Rt△DAE中，求出BE=3．在Rt△EBC中，求出∠CEB=

π

6

．證明CE⊥DE．PD⊥CE．即可證明CE⊥平面PDE．
（Ⅱ）證明平面PDE⊥平面ABCD．過A作AF⊥DE于F，求出AF．證明BA⊥平面PAD，BA⊥PA．然后求出三棱錐A-PDE的側面積S_側=

6

2

+

3

+

5

．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD=

3

，∠ADE=

π

6

，
∴AE=AD•tan∠ADE=

3

•

3

3

=1．
又AB=CD=4，∴BE=3．
在Rt△EBC中，BC=AD=

3

，∴tan∠CEB=

BC

BE

=

3

3

，∴∠CEB=

π

6

．
又∠AED=

π

3

，∴∠DEC=

π

2

，即CE⊥DE．
∵PD⊥底面ABCD，CE?底面ABCD，
∴PD⊥CE．
∴CE⊥平面PDE．…（6分）
（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面ABCD．
如圖，過A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，
∴AF就是點A到平面PDE的距離，即AF=

2 21

7

．
在Rt△DAE中，由AD•AE=AF•DE，得

3

AE=

2 21

7

•

3+AE2

，解得AE=2．
∴S_△APD=

1

2

PD•AD=

1

2

×

2

×

3

=

6

2

，
S_△ADE=

1

2

AD•AE=

1

2

×

3

×2=

3

，
∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴BA⊥PA．
在Rt△PAE中，AE=2，PA=

PD2+AD2

=

2+3

=

5

，
∴S_△APE=

1

2

PA•AE=

1

2

×

5

×2=

5

．
∴三棱錐A-PDE的側面積S_側=

6

2

+

3

+

5

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直，幾何體的體積的求法，考查計算能力，空間想象能力．