Question

6．在四棱錐中P-ABCD，底面ABCD是正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD、E、F，分別為PC、BD的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）在線段AB上是否存在點G，使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，若存在，請求出點G的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC，由正方形性質可知，AC與BD相交于點F，證明：EF∥PA，即可證明EF∥平面PAD；
（2）以O為原點，分別以射線OA，OF和OP為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標系，O-xyz，利用向量方法，即可求解．

解答 （1）證明：連接AC，由正方形性質可知，AC與BD相交于點F，
所以，在△PAC中，EF∥PA…（1分）
又PA?平面PAD，EF?平面PAD…（3分）
所以EF∥平面PAD…（4分）
（2）取AD的中點O，連接OP，OF，
因為PA=PD，所以PO⊥AD，
又因為側面PAD⊥底面ABCD，交線為AD，所以PO⊥平面ABCD，
以O為原點，分別以射線OA，OF和OP為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標系，O-xyz，不妨設AD=2…（6分）
則有P（0，0，1），D（-1，0，0），C（-1，2，0），假設在AB上存在點G（1，a，0），0＜a＜2，
則$\overrightarrow{PC}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{DG}$=（2，a，0）…（7分）
因為側面PAD⊥底面ABCD，交線為AD，且底面是正方形，
所以CD⊥平面PAD，則CD⊥PA，
由PA²+PD²=AD²得PD⊥PA，
所以PA⊥PDC，即平面PDC的一個法向量為$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-1）…（8分）
設平面PDG的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{{\begin{array}{l}{-x-z=0}\\{2x+a=0}\end{array}}\right.$，亦即$\left\{{\begin{array}{l}{z=-x}\\{y=-\frac{2x}{a}}\end{array}}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=（a，-2，-a）…（9分）
由二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，可得a=1…（10分），
所以線段AB上存在點G，且G為AB的中點，使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

點評 本題考查線面平行的判定，考查面面角，考查向量方法的運用，屬于中檔題．