Question

（2013•宿遷一模）已知α，β∈(

π

3

，

5π

6

)，若sin(α+

π

6

)=

4

5

，cos(β-

5π

6

)=

5

13

，則sin（α-β）的值為

16

65

．

Answer 1

分析：由于α-β=（α+

π

6

）-（β-

5π

6

）-π，由α，β∈（

π

3

，

5π

6

），利用兩角差的正弦即可求得sin（α-β）的值．

解答：解：∵α，β∈（

π

3

，

5π

6

），
∴

π

2

＜α+

π

6

＜π，-

π

2

＜β-

5π

6

＜0，
又sin（α+

π

6

）=

4

5

，cos（β-

5π

6

）=

5

13

，
∴cos（α+

π

6

）=-

3

5

，sin（β-

5π

6

）=-

12

13

．
∴sin（α-β）=-sin[（α+

π

6

）-（β-

5π

6

）]
=-[sin（α+

π

6

）•cos（β-

5π

6

）-cos（α+

π

6

）•sin（β-

5π

6

）]
=-[

4

5

×

5

13

-（-

3

5

）×（-

12

13

）]
=

16

65

．
故答案為：

16

65

．

點評：本題考查兩角和與差的正弦與余弦，考查觀察分析轉化運算的能力，屬于中檔題．