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已知二階矩陣A屬于特征值-1的 一個(gè)特征向量為 
-1
 
3
，屬于特征值7的 一個(gè)特征向量為 
1
 
1

①求矩陣A；  
②求解方程 A
x
y
=
7
14
．
分析：（1）根據(jù)特征值的定義可知Aα=λα，利用待定系數(shù)法建立四個(gè)等式關(guān)系，解四元一次方程組即可．
（2）根據(jù)（1）中矩陣，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩陣的公式，求出A-1，求解A-1 
7 
14 
即可．
解答：解：（1）設(shè)矩陣A=
ab
cd
，
由A屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為 
-1
 
3
，得
ab
cd
 
-1
 
3
=-1 
-1
 
3
，
即
-a+3b=1
-c+3d=-3
；
由矩陣A屬于特征值7的一個(gè)特征向量為 
1
 
1
，可得
ab
cd
 
1
 
1
=7
1
 
1
，
即
a+b=7
c+d=7
，
解得
a=5 
b=2 
c=6 
d=1 
，即矩陣A=
52
61
．
（2）由（1）知，ad-bc=-7，則A-1=
1
-7
-6
-7
-2
-7
5
-7
=
-
1
7
 
6
7
 
2
7
-
5
7
，
則
x 
y 
=
-
1
7
 
6
7
 
2
7
-
5
7
 
7
14
=
11 
-8 
，
故方程的解：
x=11
y=-8
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算，考查逆矩陣，正確理解特征值與特征向量是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，直角△ABC中，∠B=90°，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
求證：DE是⊙O的切線．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為
1
-4
，點(diǎn)P（2，-1）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)P′（5，1），求矩陣A．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
π
4
)=
2
，曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=sinα
（α為參數(shù)），求曲線C截直線l所得的弦長(zhǎng)．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b，c都是正數(shù)，且abc=8，求證：log2（2+a）+log2（2+b）+log2（2+c）≥6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點(diǎn)，BC=4，過(guò)C作圓的切線l，過(guò)A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，求線段AE的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α2=
1
-1
，求矩陣A的逆矩陣A-1．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度），已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（-2，6），點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(4，
π
2
)，直線l過(guò)點(diǎn)A且傾斜角為
π
4
，圓C以點(diǎn)B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求證：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值λ1=1及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=
1
1
和特征值λ2=2及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2=
1
0
，試求矩陣A．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

[選做題]已知二階矩陣M屬于特征值3的一個(gè)特征向量為
e
=
1
1
，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變成點(diǎn)（9，15），求出矩陣M．

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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