Question

如圖，有兩條相交直線l₁，l₂成60°角，交于點O，甲乙兩人分別在l₁，l₂上．起初甲離O點3千米，乙離O點1千米；后來甲乙兩人分別沿著箭頭所示方向前進，同時用4千米/時的速度步行．
（1）經過多少小時，兩人的距離最短？
（2）若兩人為了保持通訊，兩人之間的距離不能超過2

3

千米，那么他們兩人在行進中能保持通訊的時間為多少小時？

Answer 1

分析：（1）設運動的時間是t小時，兩點運動的路程為4tkm，表示出此時的OA和OB，再由cos∠AOB的值，利用余弦定理表示出AB的長，根據t的范圍，利用二次函數的性質即可求出兩人距離最短時的時間t的值．
（2）由（1）值，再開始到0.25小時內兩人之間的距離不能超過2

3

千米，之后則不滿足題意，故得解．

解答：解：由題意，（1）當0≤t＜0.25 時，A在O的右邊，則t小時走的路為4t，OA=3-4t，OB=1-4t，
根據余弦定理得：AB=

16t2-16t+7

，且0≤t≤0.25，則t=0.25時，AB最小為

2

0.25≤t＜0.75 時，A在O的右邊，則t小時走的路為4t，OA=3-4t，OB=1+4t，
根據余弦定理得：AB=

16t2-8t+13

，0.25≤t＜0.75，則t=0.25時，AB最小為

2

．
0.75≤t時，OA=3+4t，OB=1+4t，
根據余弦定理得：AB=

16t2+16t+7

，且0.75≤t，則t=0.75時，AB最小為2

7

∴當t=

1

4

小時，兩人的距離最短，最短距離為

2

．
（2）開始OA=3km，OB=1km，∠AOB=60°，
根據余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos∠AOB=9+1-3=7，
解得：AB=

7

（km）；
又AB=

16t2-8t+13

≤2

3

時，t=

1

4

小時
故可知他們兩人在行進中能保持通訊的時間為

1

4

小時

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查余弦定理的運用，有一定的綜合性．