Question

已知函數f(x)=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，x≤0

，g(x)=clnx+b，且x=

2

是函數y=f（x）的極值點．
（I）求實數a的值，并確定實數m的取值范圍，使得函數?（x）=f（x）-m有兩個零點；
（II）是否存在這樣的直線l，同時滿足：①l是函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線；  ②l與函數y=g（x）的圖象相切于點P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，如果存在，求實數b的取值范圍；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其導函數，利用x=

2

是函數y=f（x）的極值點對應 f′(

2

)=0，求出a的值，進而求出函數f（x）的單調性；函數y=f（x）-m有兩個零點，轉化為函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，利用導函數求出函數y=f（x）的單調區間，畫出草圖，結合圖象即可求出實數m的取值范圍．
（II）利用導函數分別求出兩個函數的切線方程，利用方程相等，對應項系數相等即可求出關于實數b的等式，再借助于其導函數即可求出實數b的取值范圍．（注意范圍限制）．

解答：解：（I）x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x，∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，f′(

2

)=0∴[2+2

2

(1-a)-2a]e

2

=0，∴2+2

2

-2a-2

2

a=0
得a=1，所以x＞0時，f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x．（3分）
令f'（x）=0得x=

2

(x=-

2

舍去）．

當x＞0時，
當x∈(0，

2

)時，f（x）單調遞減，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，0)
當x∈(

2

，+∞)f（x）單調遞增，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，+∞)∴x＞0時，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，+∞)
要使函數?（x）=f（x）-m有兩個零點，即方程f（x）-m=0有兩不相等的實數根，也即函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
（1）當b＞0時，m=0或m=(2-2

2

)e

2

；
（2）當b=0時，m∈(2-2

2

)e

2

，0)；
（3）當b＜0時，m∈((2-2

2

)e

2

，+∞)．（6分）
（II）假設存在，x＞0時，f（x）=（x²-2x）e^x，f'（x）=（x²-2）e^x，∴f（2）=0，f'（2）=2e²．
函數f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線l的方程為：y=2e²（x-2），
因直線l與函數g（x）的圖象相切于點P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，∴y₀=clnx₀+b.g′(x)=

c

x

，
所以切線l的斜率為g′(x)=

c

x0

，
所以切線l的方程為：y-y0=

c

x0

(x-x0)即l的方程為：y=

c

x0

x-c+b+clnx0，
得

c x0 =2e2 -c+b+clnx0=-4e2

⇒

c=2e2x0 b=c-clnx0-4e2

．
得b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]（10分）
記h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]，h'（x₀）=-2e²lnx₀，
令h'（x₀）=0，得x₀=1．

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．∵x₀∈[e^-1，e]，∴h（x₀）∈[-4e²，-2e²]，
所以實數b的取值范圍為：b|-4e²≤b≤-2e²．（14分）

點評：本題第一問主要研究利用導數研究函數的單調性．利用導數研究函數的單調性時，一般結論是：導數大于0對應區間為原函數的遞增區間；導數小于0對應區間為原函數的遞減區間．