Question

已知圓C：（x-1）²+（y+2）²=9，直線l：（m+1）x-y-2m-3=0（m∈R）
（1）求證：無論m取什么實數，直線恒與圓交于兩點；
（2）求直線l被圓C所截得的弦長最小時的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）將直線l解析式變形得到直線l恒過（2，-1），再判斷出此點在圓C內部，即可得到直線與圓相交，即直線恒與圓交于兩點，得證；
（2）由垂徑定理：（）²=r²-d²（a表示弦長，r表示半徑，d表示圓心到直線的距離），當d越大的時候，弦長a越小，根據垂線段最短可知，當l⊥CA時，直線l被圓C所截得的弦長最小，根據A與C坐標求出直線AC斜率，進而求出直線l斜率，即可確定出此時直線l的方程．
解答：解：（1）∵l：m（x-2）+（x-y-3）=0，
∴直線l恒過的交點，即（2，-1），
將點（2，-1）代入圓C的方程得（2-1）²+（-1+2）²=2＜9，
∴點（2，-1）在圓內，
∴無論m取什么值，直線恒與圓相交；
（2）由垂徑定理：（）²=r²-d²（a表示弦長，r表示半徑，d表示圓心到直線的距離），
當d越大的時候，弦長a越小，
根據垂線段最短可知，當l⊥CA時，直線l被圓C所截得的弦長最小，
∵A（2，-1），C（1，-2），
∴k_CA=1，
∴k_l=-1，
∴直線l的方程為y=-（x-2）-1，即x+y-1=0．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，直線與圓的位置關系由d與r大小來判斷，當d＞r時，直線與圓相離；當d＜r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切（其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．