Question

在等差數列{a_n}中，設S_n為它的前n項和，若S₅=35，且點A（3，a₃）與點B（5，a₅）都在斜率為-2的直線上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=35，再結合等差數列的性質可得：a₃=7，再根據題中的條件可得：

a5-a3

5-3

=

2d

2

=d=-2，進而求出等差數列的通項公式．
（2）由（1）并且結合S_n=

n(a1+an)

2

，再根據二次函數的性質可得答案．

解答：解：（1）由題意可得：S₅=35，即a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=35，
因為在等差數列{a_n}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a_m+a_n=a_p+a_q，
所以5a₃=35，即a₃=7．
因為點A（3，a₃）與點B（5，a₅）都在斜率為-2的直線上，
所以

a5-a3

5-3

=

2d

2

=d=-2，即d=-2，
所以a₁=a₃-2d=11，
所以a_n=-2n+13，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=-2n+13．
（2）由（1）可得：S_n=

n(a1+an)

2

=12n-n²，
所以根據二次函數的性質可得：n=6時，S_n取最大值36．

點評：本題值域考查等差數列的性質與等差數列的通項公式，以及考查等差數列的前n項和的表達式等知識點，此題屬于基礎題，是各類考試命題的熱點之一．