Question

已知a₁，a₂，a₃，…，a₈為各項都大于零的數列，則“a₁+a₈＜a₄+a₅”是“a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比數列”的（ ）
A．充分且必要條件
B．充分但非必要條件
C．必要但非充分條件
D．既不充分也不必要條件

Answer 1

【答案】分析：先假設八個整數成等比數列且q≠1，利用等比數列的通項公式表示出（a₁+a₈）-（a₄+a₅），分別對q＞1和q＜1分類討論，可推斷出a₁+a₈＞a₄+a₅一定成立，反之若a₁+a₈＜a₄+a₅，則a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比數列，推斷出條件的充分性；若a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比數列，a₁+a₈＜a₄+a₅，不一定成立，綜合答案可得．
解答：解：若八個正數，成等比數列公比q＞0，
（a₁+a₈）-（a₄+a₅）
=a₁[（1+q⁷）-（q³+q⁴）]
=a₁[（q³-1）（q⁴-1）]
當0＜q＜1，時
（q³-1）＜0，（q⁴-1）＜0
∴a₁[（q³-1）（q⁴-1）]＞0
當q＞1，時
（q³-1）＞0，（q⁴-1）＞0
∴a₁[（q³-1）（q⁴-1）]＞0
所以a₁+a₈＞a₄+a₅，
故若a₁+a₈＜a₄+a₅，則a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比數列，
若a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比數列，a₁+a₈＜a₄+a₅，不一定成立，
故“a₁+a₈＜a₄+a₅”是“a₁，a₂，a₃，…，a₈不是等比數列”的充分非必要條件．
故選B
點評：本題主要考查了等比關系的確定以及充分條件，必要條件充分必要條件的判定．考查了學生分析問題和基本的推理能力．