Question

（2007•威海一模）已知函數f（x）=x³+ax²+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）若 a＞0，且f（x）的極大值為5，極小值1，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，利用導數和極值之間的關系建立方程組，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函數，則f'（x）≥0在（-∞，-

1

2

）恒成立，然后分類討論．

解答：解：（I）∵f（x）=x³+ax²+b，所以f'（x）=3x²+2ax，由f'（x）=3x²+2ax=0，解得x=0或x=-

2a

3

，
因為 a＞0，所以x=-

2a

3

＜0，
當f'（x）＞0時，解得x＜-

2a

3

或x＞0，此時函數單調遞增．
當f'（x）0時，解得-

2a

3

＜x＜0，此時函數單調遞減．
所以當x=-

2a

3

時，函數取得極大值，當x=0時，函數取得極小值．
即f(-

2a

3

)=-(-

2a

3

)3+a(-

2a

3

)2+b=5，f（0）=b=1，
解得a=3，b=1．
∴所求的函數解析式是f（x）=-x³+3x²+1．…（6分）
（II）由上問知當x=0或x=-

2a

3

時，f'（x）=0．
①當a＞0時，x=-

2a

3

＜0．函數f（x）在（-∞，-

2a

3

）和（0，+∞）上是單調遞增函數，在（-

2a

3

，0）上是單調遞減函數．
∴若f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函數，則必有-

1

2

≤-

2a

3

，解得0＜a≤

3

4

．
②當a＜0時，-

2a

3

＞0．函數f（x）在（-∞，0）和（-

2a

3

，+∞）上是單調遞增函數，
在（0，-

2a

3

）上是單調遞減函數．顯然滿足f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函數．
③當a=0時，-

2a

3

=0．函數f（x）在（-∞，+∞）上是單調遞增函數，
也滿足f（x）在（-∞，-

1

2

）上是增函數．
∴綜合上述三種情況，所求a的取值范圍為(-∞，

3

4

]．…（12分）

點評：本題主要考查函數的單調性，極值與導數之間的關系，要求熟練掌握導數在研究函數中的應用．