Question

設函數y=log₂（mx²-2x+2）定義域為A，集合B=[

1

2

，2]
（1）A=R，求m的取值范圍，
（2）A∩B≠∅，求m的取值范圍
（3）log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數y=log₂（mx²-2x+2）定義域為R，則mx²-2x+2＞0在R上恒成立，討論二次項系數與判別式可求出m的取值范圍；
（2）根據A∩B≠∅，則mx²-2x+2＞0在集合B=[

1

2

，2]上有解，然后利用參數分離法進行求解即可；
（3）根據log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立，則mx²-2x-2＞0在集合B=[

1

2

，2]上恒成立，然后利用參數分離法進行求解即可．

解答：解：（1）∵函數y=log₂（mx²-2x+2）定義域為R
∴mx²-2x+2＞0在R上恒成立
當m=0時，x＜1，不在R上恒成立，故舍去
當m≠0時

m＞0 △＜0

解得m＞

1

2

∴A=R，求m的取值范圍（

1

2

，+∞）
（2）∵A∩B≠∅，
∴mx²-2x+2＞0在集合B=[

1

2

，2]上有解
∴-

m

2

＜

1

x2

-

1

x

在集合B=[

1

2

，2]上有解
∴-

m

2

＜(

1

x2

-

1

x

)max=2
即m＞-4
（3）∵log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立
∴mx²-2x-2＞0在集合B=[

1

2

，2]上恒成立
∴

m

2

＞

1

x2

+

1

x

在集合B=[

1

2

，2]上恒成立
即

m

2

＞(

1

x2

+

1

x

)max=6
∴m＞12

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及函數的性質，同時考查了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．