Question

設函數f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x+5（a，b∈R，a＞0）的定義域為R，當x=x₁時，取得極大值；當x=x₂時取得極小值，|x₁|＜2且|x₁-x₂|=4．
（1）求證：x₁x₂＞0；
（2）求證：（b-1）²=16a²+4a；
（3）求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的性質，轉換成二次函數的形式即可．
（2）利用（1）的二次函數，通過韋達定理，求出x₁+x₂=

(b-1)2-4a

a

．進而證明題設
（3）分0＜x＜2和-2＜x＜0兩種情況，最后取并集．

解答：（1）證明：f′（x）=ax²+（b-1）x+1，
由題意，f′（x）=ax²+（b-1）x+1=0的兩根為x₁，x₂
∴x1x2=

1

a

＞0．
（2）|x1-x2|=

(b-1)2-4a

a

=4
∴（b-1）²=16a²+4a．
（3）①若0＜x₁＜2，則

1-b＞0 f′(2)=4a+2b-1＜0

∴4a+1＜2（1-b），從而（4a+1）²＜4（1-b）²=4（16a²+4a）
解得a＞

1

12

或a＜-

1

4

（舍）
∴2(1-b)＞

4

3

，得b＜

1

3

．
②若-2＜x₁＜0，則

1-b＜0 f′(-2)=4a-2b+3＜0

∴4a+1＜2（b-1），從而（4a+1）²＜4（1-b）²=4（16a²+4a）
解得a＞

1

12

或a＜-

1

4

（舍）
∴2(b-1)＞

4

3

，∴b＞

5

3

綜上可得，b的取值范圍是(-∞，

1

3

)∪(

5

3

，+∞)

點評：本題主要考查導數、函數、不等式等基礎知識，綜合分析問題和解決問題的能力．