Question

如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形
（I）證明直線BC∥EF；
（II）求棱錐F-OBED的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用同位角相等，兩直線平行得到OB∥DE；OB=，得到B是GE的中點；同理C是FG的中點；利用三角形的中位線平行于底邊，得證．
（II）利用三角形的面積公式求出底面分成的兩個三角形的面積，求出底面的面積；利用兩個平面垂直的性質找到高，求出高的值；利用棱錐的體積公式求出四棱錐的體積．
解答：解：（I）證明：設G是線段DA與線段EB延長線的交點，由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB=同理，設G′是線段DA與線段FC延長線的交點，有OG′=OD=2，又由于G與G′都在線段DA的延長線上，所以G與G′重合，在△GED和△GFD中，由和可知B，C分別是GE，GF的中點，所以BC是△GFE的中位線，故BC∥EF
（II）解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知而△OED是邊長為2的正三角形，故所以過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q．由平面ABED⊥平面ACFD，FQ就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=，所以
另外本題還可以用向量法解答，同學們可參考圖片，自行解一下，解法略．

點評：本題考查證明兩條直線平行的方法有：同位角相等，兩直線平行、三角形的中位線平行于底邊、考查平面垂直的性質定理、棱錐的體積公式．