Question

在四棱錐中，其底面是正方形，一條側棱垂直于底面，不通過此棱的一個側面與底面所成的二面角為45°，且最長的側棱長為15cm，則棱錐的高為

5

3

cm

．

Answer 1

分析：在四棱錐S-ABCD中，由SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，二面角S-BC-D是45°的二面角，知∠SCD=45°，設正方形ABCD的邊長是a，則SD=CD=a，BD=

2

a，由SD⊥BD，SB=15，知a²+2a²=225，由此能求出棱錐的高．

解答：解：如圖，SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，二面角S-BC-D是45°的二面角，
∵SD⊥面ABCD，BC⊥DC，
∴BC⊥面SDC，
∴SC⊥DC，
∴∠SCD是二面角S-BC-D的平面角，
∴∠SCD=45°，
設正方形ABCD的邊長是a，則SD=CD=a，BD=

2

a，
∵SD⊥BD，SB=15，
∴a²+2a²=225，解得a=5

3

．
故棱錐的高為5

3

．
故答案為：5

3

．

點評：本題考查棱錐的高的求法，考查二面角的性質和應用，解題時要認真審題，注意三垂線定理的性質和應用．