設函數
，其中
為正整數.
（1）判斷函數
的單調性，并就
的情形證明你的結論；
（2）證明：
；
（3）對于任意給定的正整數，求函數
的最大值和最小值.
（1）
在
上均為單調遞增的函數. …… 2分
對于函數
，設 
，則
，
，
函數
在
上單調遞增. …… 4分
（2）
原式左邊
. …… 6分
又原式右邊
.
. …… 8分
（3）當
時，函數
在上單調遞增，
的最大值為
，最小值為
.
當
時，
， 函數
的最大、最小值均為1.
當
時，函數
在上為單調遞增.
的最大值為
，最小值為
.
當
時，函數
在上單調遞減，
的最大值為
，最小值為
. …… 11分
下面討論正整數
的情形：
當
為奇數時，對任意
且
，
以及 
，
，從而 
.
在上為單調遞增，則
的最大值為
，最小值為
. …… 14分
當為偶數時，一方面有 
.
另一方面，由于對任意正整數
，有
，
.
函數
的最大值為
，最小值為
.
綜上所述，當為奇數時，函數的最大值為
，最小值為
.
當為偶數時，函數的最大值為
，最小值為
. …… 18分
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百分學生作業本題練王系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（本小題滿分13分）設函數
，其中
為正整數.
（Ⅰ）判斷函數
的單調性，并就
的情形證明你的結論；
（Ⅱ）證明：
；
（Ⅲ）對于任意給定的正整數，求函數
的最大值和最小值.
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年山東省淄博市高三3月模擬考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
若數列
滿足
，則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列
中，
，點
在函數
的圖象上，其中
為正整數．
（1）證明數列
是“平方遞推數列”，且數列
為等比數列；
（2）設（1）中“平方遞推數列”的前項積為
，
即
，求
；
（3）在（2）的條件下，記
，求數列
的前項和
，并求使
的的最小值．
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年山東省高三第四次（4月）周測理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
設函數
，其中
為常數．
（Ⅰ）當
時，判斷函數
在定義域上的單調性；
（Ⅱ）當
時,求的極值點并判斷是極大值還是極小值；
（Ⅲ）求證對任意不小于3的正整數
，不等式
都成立．
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，其中
為正整數.
的單調性，并就
的情形證明你的結論；
；
，求函數
的最大值和最小值.