Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點．
（1）證明：MN∥平面PAB；
（2）求點M到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設PB的中點為Q，連接AQ，NQ；

∵N為PC的中點，Q為PB的中點，∴QN∥BC且QN= BC=2，

又∵AM=2MD，AD=3，∴AM= AD=2 且AM∥BC，

∴QN∥AM且QN=AM，

∴四邊形AMNQ為平行四邊形，

∴MN∥AQ．

又∵AQ平面PAB，MN平面PAB，

∴MN∥平面PAB；

（2）解：在Rt△PAB，Rt△PAC中，PA=4，AB=AC=3，

∴PB=PC=5，又BC=4，取BC中點E，連接PE，則PE⊥BC，且PE= = ，

∴S△PBC= ×BC×PE= ×4× =2 ．

設點M到平面PBC的距離為h，則VM﹣PBC= ×S△PBC×h= h．

又VM﹣PBC=VP﹣MBC=VP﹣DBC ×S△ABC×PA= × ×4× ×4= ，

即 h= ，得h= ．

∴點M到平面PBC的距離為為 ．

【解析】（1）設PB的中點為Q，連接AQ，NQ，由三角形中位線定理結合已知可得四邊形AMNQ為平行四邊形，得到MN∥AQ．再由線面平行的判定可得MN∥平面PAB；（2）在Rt△PAB，Rt△PAC中，由已知求解直角三角形可得PE= = ，進一步得到S△PBC ． 然后利用等積法求得點M到平面PBC的距離．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．