Question

 [2012·三明普通高中聯考] 如圖G8－5，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.

(1)求證：AB∥平面PCD；

(2)求證：BC⊥平面PAC；

(3)若M是PC的中點，求三棱錐M－ACD的體積．

圖G8－5

Answer 1

解：(1)由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，

又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB∥平面PCD.

(2)在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，

則四邊形ADCE為矩形，∴AE＝DC＝1，

又AB＝2，∴BE＝1，

在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝，

則AC＝＝，∴AC²＋BC² ＝ AB²，

∴BC⊥AC，

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，

又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，

(3)∵M是PC的中點，

∴M到平面ADC的距離是P到面ADC距離的一半．

V_{M －ACD}＝S_△ACD·＝××＝.