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已知a、b是正常數，若0＜x＜1，則函數f（x）=
a
x
+
b
1-x
的最小值是
（a+b）+2
ab
（a+b）+2
ab
．
分析：f（x）=
a
x
+
b
1-x
=（
a
x
+
b
1-x
）[x+（1-x）]=（a+b）+
a(1-x)
x
+
bx
1-x
，然后利用基本不等式即可求得．
解答：解：因為a、b是正常數，且0＜x＜1，
所以f（x）=
a
x
+
b
1-x
=（
a
x
+
b
1-x
）[x+（1-x）]
=（a+b）+
a(1-x)
x
+
bx
1-x

≥（a+b）+2
a(1-x)
x
•
bx
1-x
=（a+b）+2
ab
．
當且僅當
a(1-x)
x
=
bx
1-x
，即a（1-x）2=bx2時取等號．
所以f（x）=
a
x
+
b
1-x
的最小值是（a+b）+2
ab
．
故答案為：（a+b）+2
ab
．
點評：本題考查函數最值的求法，根據本題條件的特點采用基本不等式較為簡單，注意使用基本不等式求最值的條件．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知a，b是正常數，a≠b，x，y∈（0，+∞），求證：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，指出等號成立的條件；
（2）利用（1）的結論求函數f(x)=
2
x
+
9
1-2x
（x∈(0，
1
2
)）的最小值，指出取最小值時x的值．

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科目：高中數學 來源：《1.1.2 基本不等式》2013年同步練習（1）（解析版） 題型：解答題

（1）已知a，b是正常數，a≠b，x，y∈（0，+∞），求證：，指出等號成立的條件；
（2）利用（1）的結論求函數（）的最小值，指出取最小值時x的值．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年安徽省高三摸底數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

（1）已知a，b是正常數，a≠b，x，y∈（0，+∞），求證：，指出等號成立的條件；
（2）利用（1）的結論求函數（）的最小值，指出取最小值時x的值．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年江西省宜春市上高二中高三（下）第六次月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

（1）已知a，b是正常數，a≠b，x，y∈（0，+∞），求證：，指出等號成立的條件；
（2）利用（1）的結論求函數（）的最小值，指出取最小值時x的值．

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