Question

將和式的極限

lim

n→m

1p+2p+3p+…+np

np+1

（p＞0）表示成定積分（　　）

• A．

  ∫

  1 0

  1

  x

  dx
• B．

  ∫

  1 0

  x^pdx
• C．

  ∫

  1 0

  (

  1

  x

  )pdx
• D．

  ∫

  1 0

  (

  x

  n

  )Pdx

Answer 1

分析：利用積分的定義，可得

∫

1 0

x^pdx=

lim

n→+∞

n

i=1

（ξ_i）^p△x_i=

lim

n→+∞

n

i=1

（

i

n

）^p×

1

n

=

lim

n→+∞

1p+2p+3p+…+np

np+1

，由此可得結(jié)論．

解答：解：取積分區(qū)間[0，1]，并分成n等分[x_i-1，x_i]，每份為△x_i=

1

n

，令

1

n

→0，相當(dāng)于n趨向無窮大，然后取ξ_i=

i

n

∴n→+∞時(shí)，

1

n

→0，

n

i=1

（ξ_i）^p△x_i→

n

i=1

（

i

n

）^p×

1

n

∴

∫

1 0

x^pdx=

lim

n→+∞

n

i=1

（ξ_i）^p△x_i=

lim

n→+∞

n

i=1

（

i

n

）^p×

1

n

=

lim

n→+∞

1p+2p+3p+…+np

np+1

故選B．

點(diǎn)評：本題考查定積分的定義，考查定積分的計(jì)算，考查數(shù)列的極限，屬于中檔題．