Question

設函數f（x）=x²+ax+b（x∈R）中a，b∈R，若對于任意的a∈[-3，3]，關于x 的不等式f（x）＞1在[-1，1]上恒成立，則b的取值范圍是（　　）

A．（-∞，2）

B．（-∞，3）

C．（2，+∞）

D．（3，+∞）

Answer 1

分析：函數f（x）=x²+ax+b的對稱軸為x=-

a

2

，a∈[-3，3]，分①當-

3

2

≤-

a

2

＜-1時、②當-1≤-

a

2

≤1時、③當1＜-

a

2

≤

3

2

時三種情況，再根據最小值大于1，求得b的范圍．

解答：解：函數f（x）=x²+ax+b的對稱軸為x=-

a

2

，a∈[-3，3]，
①當-

3

2

≤-

a

2

＜-1時，即2＜a≤3時，函數f（x）在[-1，1]上是增函數，
函數f（x）在[-1，1]上的最小值為f（-1）=1-a+b＞1，此時b＞a，故b＞3．
②當-1≤-

a

2

≤1時，即-2≤a≤2時，函數f（x）在[-1，1]上的最小值為f（-

a

2

）=b-

a2

4

＞1，
可得 b＞2．
③當1＜-

a

2

≤

3

2

時，即-3≤a＜-2時，函數f（x）在[-1，1]上是減函數，
函數f（x）在[-1，1]上的最小值為f（1）=1+a+b＞1，此時b＞-a，故b＞3，
綜上可得，b＞3，
故選D．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，函數的恒成立問題，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．