Question

設f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）．
（1）當a=1時，解不等式f（x）≤8．
（2）若f（x）≥6恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，利用零點分段法，可將函數的解析式化成分段函數的形式，進而分類討論各段上f（x）≤8的解，最后綜合討論結果，可得不等式f（x）≤8的解集．
（2）利用零點分段法，可將函數的解析式化成分段函數的形式，結合一次函數的單調性可分析出函數的f（x）的單調性，進而求出函數f（x）的最小值，得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=|x|+2|x-1|=

2-3x，x＜0 2-x，0≤x≤1 3x-2，x＞1

當x＜0時，由2-3x≤8得，-2≤x＜0
當0≤x≤1時，由2-x≤8得，0≤x≤1
當x＞1時，由3x-2≤8得，1＜x≤

10

3

綜上所述不等式f（x）≤8的解集為[-2，

10

3

]
（2）∵f（x）=|x|+2|x-a|=

2a-3x，x＜0 2a-x，0≤x≤a 3x-2a，x＞a

則f（x）在（-∞，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增，
∴當x=a時，f（x）取最小值a
若f（x）≥6恒成立，則a≥6
∴實數a的取值范圍為[6，+∞）．

點評：本題考查的知識點是分段函數的應用，絕對值不等式，其中利用零點分段法，將函數的解析式化成分段函數的形式，進而分類討論是解答此類問題的通法．