Question

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x²-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a³+b³比a²b+ab²遠(yuǎn)離；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)定義可得|x²-1|＞1再按照絕對值不等式的解法求解．
（2）證明：易知∵成立，再兩邊同乘以ab得到要證明的問題．
（3）根據(jù)定義可得，再由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行探討．
解答：解：（1）根據(jù)定義可得：|x²-1|＞1
∴x²-1＞1或x²-1＜-1
解得
（2）證明：欲證明a³+b³比a²b+ab²遠(yuǎn)離
即證|a³+b³-|＞|a²b+ab²-|，又任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b
即證
由于，＞0
∴
即證成立
∴|a³+b³-|＞|a²b+ab²-|
（3）由題意知
性質(zhì)：①函數(shù)是偶函數(shù)；
②周期T=
③在區(qū)間k∈z是增函數(shù)，在k∈z是減函數(shù)
④最大值為1，最小值為
⑤定義域
點(diǎn)評：本題通過新定義來考查絕對值不等式的解法，絕對值不等式的證明，構(gòu)造新函數(shù)并研究其性質(zhì)，設(shè)置新穎，考查豐富，是一道好題．