Question

已知函數f（x）=x³-ax²+3x．
（Ⅰ）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．
（Ⅱ）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由題意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一個根為x=3，可得a=5，再利用導數求其最小值和最大值
（Ⅱ）f'（x）=3x²-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數，則有3x²-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）內恒成立，分離參數a，轉化為即a≤

3x

2

+

3

2x

在x∈[1，+∞）內恒成立

解答：解：（Ⅰ） 由題意知f'（x）=3x²-2ax+3=0的一個根為x=3，可得a=5，…（3分）
所以f'（x）=3x²-10x+3=0的根為x=3或 x=

1

3

（舍去），
當1＜x＜3時，f'（x）＜0，當3＜x＜5時，f'（x）＞0，
f（x）在x∈[1，3]上單調遞減，在x∈[3，5]上單調遞增
又f（1）=-1，f（3）=-9，f（5）=15，
∴f（x）在x∈[1，5]上的最小值是f（3）=-9，最大值是f（5）=15．…（7分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數，則有3x²-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）內恒成立，
即a≤

3x

2

+

3

2x

在x∈[1，+∞）內恒成立
又

3x

2

+

3

2x

≥3（當且僅當x=1時取等號），所以a≤3…（13分）

點評：本題考查導數知識的運用，求函數的單調性，函數的最值，分離參數的方法解決恒成立問題．