Question

設函數f(x)=

e-x+1+a，(x≤1) x2+bx-3 x-1 (x＞1)

在x=1處連續，則

lim

x→∞

an-3bn

an+bn

=（　　）

A．1

B．0

C．-2

D．-3

Answer 1

分析：由函數f(x)=

e-x+1+a，(x≤1) x2+bx-3 x-1 (x＞1)

在x=1處連續可求得b=2，a=3，代入即可求得

lim

x→∞

an-3bn

an+bn

的值．

解答：解：∵函數f(x)=

e-x+1+a，(x≤1) x2+bx-3 x-1 (x＞1)

在x=1處連續，
∴

lim

x→1-

e-x+1+a=a，x=1是方程x²+bx-3=0的根，
∴b=2，
又

lim

x→1+

x2+2x-3

x-1

=

lim

x→1+

( x-1)(x+3)

x-1

=4=

lim

x→1-

e-x+1+a=1+a，
∴a=3．
∴

lim

x→∞

an-3bn

an+bn

=

lim

x→∞

3n-3•2n

3n+2n

=

lim

x→∞

1 -3•( 2 3 )n

1+( 2 3 )n

=1．
故選A．

點評：本題考查函數的連續性及極限的運算，難點在于對函數在x=1處連續的理解與應用（求a、b的值），屬于中檔題．