Question

（2012•上海二模）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=2

2

，E，F分別是BC、AA₁的中點．
求：（1）異面直線EF和A₁B所成的角．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（1）方法一：取AB的中點D，連DE、DF，則DF∥A₁B，∠DFE（或其補角）即為所求由此能求出異面直線EF和A₁B所成的角的大小．
方法二：以A為坐標原點以AB、AC、AA₁所在直線分別x軸、y軸、Z軸建立直角坐標系，用向量法求異面直線EF和A₁B所成的角的大小．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=

1

2

AB•AC•AA1=

1

2

×2×2×2

2

=4

2

．

解答：解：（1）方法一：取AB的中點D，連DE、DF，則DF∥A₁B，
∴∠DFE（或其補角）即為所求．…（3分）

由題意易知，DF=

3

，DE=1，AE=

2

由DE⊥AB、DE⊥A A₁得DE⊥平面ABB₁A₁
∴DE⊥DF，即△EDF為直角三角形，…（3分）
∴tan∠DFE=

DE

DF

=

1

3

=

3

3

∴∠DFE=30°…（3分）
即異面直線EF和A₁B所成的角為30⁰．    …（1分）
方法二：


以A為坐標原點以AB、AC、AA₁所在直線分別x軸、y軸、
Z軸建立如圖所示的直角坐標系，…（1分）
則A₁ （o，o，2

2

）  B （2，0，0）
∵E、F分別是BC、AA₁中點
∴E（1，1，0）F（0，0，

2

）          …（4分）
∴

BA

1=(-2，0，2

2

)，

EF

=(-1，-1，

2

)
設

BA1

與

EF

的夾角為θ
∴cosθ=

BA1 • EF

| BA1 |•| EF |

=

3

2

∵0≤θ≤π
∴θ=

π

6

…（4分）
∴異面直線EF和A₁B所成的角為

π

6

…（1分）
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積
V=

1

2

AB•AC•AA1=

1

2

×2×2×2

2

=4

2

…（4分）

點評：本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法和直直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積的計算，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．