Question

設函數f(x)=x+

p

x

(p＞0)．
（1）若p=4，判斷f（x）在區間（0，2）的單調性，并用函數單調性定義加以證明；
（2）若f（x）在區間（0，2）上為單調減函數，求實數p的取值范圍；
（3）若p=8，方程f（x）=a-3在x∈（0，2）內有實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當p=4時，f（x）=x+

4

x

在區間（0，2）的單調遞減，利用函數單調性定義證明即可；
（2）依題意知，

p

≥2，從而可求實數p的取值范圍；
（3）p=8，f（x）=a-3⇒a=x+

8

x

+3，令g（x）=x+

8

x

+3，利用g（x）在區間（0，2）是單調遞減的性質可求其值域，從而可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當p=4時，f（x）=x+

4

x

在區間（0，2）的單調遞減．
證明：令0＜x₁＜x₂＜2，
則f（x₁）-f（x₂）
=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）
=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）
=（x₁-x₂）+4•

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

），
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，
∴

4

x1x2

＞1，1-

4

x1x2

＜0，
∴（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=x+

4

x

在區間（0，2）的單調遞減；
（2）∵f（x）=x+

p

x

（p＞0）在（0，

p

]上單調遞減，又f（x）在區間（0，2）上為單調減函數，
∴

p

≥2，
∴p≥4，即實數p的取值范圍是[2，+∞）；
（3）p=8，f（x）=a-3⇒a=x+

8

x

+3，令g（x）=x+

8

x

+3，
∵g（x）在區間（0，2

2

]是單調遞減，（0，2）⊆（0，2

2

]，
∴g（x）在區間（0，2）是單調遞減，
又g（2）=9，
∴a＞9．
即實數a的取值范圍是（9，+∞）．

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，考查根的存在性及根的個數判斷，考查等價轉化思想與綜合運算能力，屬于難題．