Question

【題目】在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知2cos（B﹣C）﹣1=4cosBcosC．
（1）求A；
（2）若a= ，△ABC的面積為 ，求b+c．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2cos（B﹣C）﹣1=4cosBcosC，

∴2（cosBcosC+sinBsinC）﹣1=4cosBcosC，

即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1，可得2cos（B+C）=﹣1，

∴cos（B+C）=﹣ ．

∵0＜B+C＜π，可得B+C= ．

∴A=π﹣（B+C）=

（2）解：由（1），得A= ．

∵S△ABC= = bcsin ，

∴得bc=6．①

由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：7=b2+c2﹣2bccos ，即b2+c2﹣bc=7

∴（b+c）2﹣3bc=7 ②

將①代入②，得（b+c）2﹣18=7，可得：（b+c）2=25，得b+c=5

【解析】（1）利用角恒等變換，化簡已知等式可得cos（B+C）=﹣ ，結合三角形內角的范圍算出B+C= ，再利用三角形內角和即可得到A的大小；（2）根據三角形面積公式可求bc的值，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入數據化簡可得（b+c）2﹣3bc=7，兩式聯立可算出b+c的值．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:才能正確解答此題．