Question

過直線y=-1上的動點A（a，-1）作拋物線y=x²的兩切線AP，AQ，P，Q為切點．
（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值．
（2）求證：直線PQ過定點．

Answer 1

分析：（1）設過A作拋物線y=x²的切線的斜率為k，用選定系數法給出切線的方程，與拋物線方程聯立消元得到關于x的一元二次方程，此一元二次方程僅有一根，故其判別式為0，得到關于k的一元二次方程，k₁，k₂必為其二根，由根系關系可求得兩根之積為定值，即k₁•k₂為定值
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），用其坐標表示出兩個切線的方程，因為A點是兩切線的交點將其坐標代入兩切線方程，觀察發現P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐標都適合方程2ax-y+1=0上，因為兩點確定一條直線，故可得過這兩點的直線方程必為2ax-y+1=0，該線過定點（0，1）故證得．

解答：解：（1）設過A作拋物線y=x²的切線的斜率為k，
則切線的方程為y+1=k（x-a），
與方程y=x²聯立，消去y，得x²-kx+ak+1=0．
因為直線與拋物線相切，所以△=k²-4（ak+1）=0，
即k²-4ak-4=0．由題意知，此方程兩根為k₁，k₂，
∴k₁k₂=-4（定值）．（5分）
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由y=x²，得y′=2x．
所以在P點處的切線斜率為：y′|x=x1=2x1，
因此，切線方程為：y-y₁=2x₁（x-x₁）．
由y₁=x₁²，化簡可得，2x₁x-y-y₁=0．
同理，得在點Q處的切線方程為2x₂x-y-y₂=0．
因為兩切線的交點為A（a，-1），故2x₁a-y₁+1=0，2x₂a-y₂+1=0．
∴P，Q兩點在直線2ax-y+1=0上，即直線PQ的方程為：2ax-y+1=0．
當x=0時，y=1，所以直線PQ經過定點（0，1）．（10分）

點評：本題考查轉化的技巧，（I）將兩斜率之積為定值的問題轉化 成了兩根之積來求，（II）中將求兩動點的連線過定點的問題 轉化成了求直線系過定點的問題，轉化巧妙，有藝術性．