Question

已知a，b，c均為正數，證明：≥6，并確定a，b，c為何值時，等號成立．

Answer 1

【答案】分析：證法一：兩次利用基本不等式放小，此處不用考慮等號成立的條件，因等號不成立不影響不等號的傳遞性．
證法二：先用基本不等式推出a²+b²+c²≥ab+bc+ac與兩者之和用基本不等式放小，整體上只用了一次放縮法．其本質與證法一同．
解答：證明：
（證法一）
因為a，b，c均為正數，由平均值不等式得①
所以②（6分）
故．
又③
所以原不等式成立．（8分）
當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立．當且僅當時，③式等號成立．
即當且僅當a=b=c=時，原式等號成立．（10分）
（證法二）
因為a，b，c均為正數，由基本不等式得
所以a²+b²+c²≥ab+bc+ac①
同理②（6分）
故③

所以原不等式成立．（8分）
當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立，當且僅當a=b=c，（ab）²=（bc）²=（ac）²=3時，③式等號成立．
即當且僅當a=b=c=時，原式等號成立．（10分）
點評：考查放縮法在證明不等式中的應用，本題在在用縮法時多次用到基本不等式，請讀者體會本題證明過程中不考慮等號是否成立的原理，并與利用基本不等式求最值再據最值成立的條件求參數題型比較．深入分析等號成立的條件什么時候必須考慮，什么時候可以不考慮．