Question

已知：函數的最小正周期為3π．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

解：（1）根據題意，得
==…（3分）
∵函數f（x）的周期為3π，即，
∴，…（5分）
因此，函數f（x）的解析式是…（6分）
（2）∵
∴，
∵C∈（0，π），可得，
∴，可得．…（8分）
∵在Rt△ABC中，，有2sin²B=cosB+cos（A-C）
∴2cos²A-sinA-sinA=0，即sin²A+sinA-1=0，解之得…（11分）
∵0＜sinA＜1，∴．…（12分）
分析：（1）根據二倍角的三角函數公式和輔助角公式，化簡得f（x）=，再由函數的最小正周期為3π結合三角函數的周期公式，算出即可得到函數f（x）的解析式；
（2）根據（1）的表達式，解關于C的方程f（C）=1，結合C為三角形的內角算出C=，因此將等式2sin²B=cosB+cos（A-C）化成關于A的方程，整理得sin²A+sinA-1=0，解之即得sinA的值．
點評：本題給出函數y=Asin（ωx+φ）+k的周期，求函數的表達式并依此求三角形ABC的角A的正弦值．著重考查了三角恒等變換、三角函數的圖象與性質和同角三角函數的基本關系等知識點，屬于中檔題．