Question

函數y=2^2x-2^x+2+7，定義域為[m，n]，值域為[3，7]，則n+m的最大值

3

．

Answer 1

分析：利用換元法將函數進行轉換為一元二次函數，然后利用一元二次函數的單調性確定m，n．

解答：解：因為y=2^2x-2^x+2+7=（2^x）²-4?2^x+7，令t=2^x，
因為m≤t≤n，所以2^m≤t≤2ⁿ．
所以原函數等價為y=f（t）=t²-4t+7=（t-2）²+3，
因為函數的值域為[3，7]，所以當t=2時，y=3．
由（t-2）²+3=7，解得t=0（舍去）或t=4．
當t=2時，得2^x=2，解得x=1．當t=4時，得2^x=4，即x=2．
所以函數的定義域為[m，2]（0≤m≤1），所以當m=1，n=2時，m+n最大為3．
故答案為：3．

點評：本題主要考查指數函數和二次函數的圖象和性質，利用換元法是解決本題的關鍵，綜合性性較強，難度較大．